Скажите, он может быть перемещен по необходимости или после регистрации он становится частью лого и там где его прилепили, там он железно и должен быть?

Где угодно. Это персонификация.

как пожелаете.
ТМ -- значит что знак заявлен на регистрацию
(R) ® -- получено свидетельство о регистрации

Применение этих символов зависит о желания дизайнера или клиента.
Частью лого не является. (так как пришлось бы каждый раз его регистрировать при смене изображения)

может стать частью логотипа или фирменного модуля (логотипного модуля) но это другие элементы фирменного стиля.

Частью лого он не становится, при желании можно совсем не ставить, иначе задолбаешься каждый раз регистрировать