Вопрос в следующем. Как в drop down list <select ….><option>…
поставить вместо дефолтовой стрелки, направленной вниз, какую-либо свою картинку? Возможно ли это?

нет, не возможно. возможно сделать самому реализуя выпадающее меню на JS

Согласен.
Выпадающий список - оконный элемент Windows и изменить его из приложения невозможно.
В другой операционной системе выпадающий список может вообще не иметь ни стрелочки, ни кнопки разворачивания списка.